Τι είναι ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής και οι εφαρμογές του

Δοκιμάστε Το Όργανο Μας Για Την Εξάλειψη Των Προβλημάτων





Στην καθημερινή μας ζωή, παρατηρούμε διάφορα είδη κινήσεων, όπως η Γραμμική κίνηση ενός αυτοκινήτου, η Δονητική κίνηση μιας χορδής, η κυκλική κίνηση ενός ρολογιού κ.λπ. κίνηση. Ένα σώμα λέγεται ότι κινείται σε περιοδική κίνηση όταν επαναλαμβάνει τη διαδρομή του μετά από κάθε χρονικό διάστημα. Ένα παράδειγμα περιοδικής κίνησης είναι η κίνηση των χεριών του ρολογιού, η περιστροφή της γης, η κίνηση ενός εκκρεμούς κ.λπ. Όταν αυτή η περιοδική κίνηση αφορά ένα σταθερό σημείο αναφοράς ονομάζεται κίνηση ταλαντώσεων. Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής είναι μια ειδική περίπτωση της ταλαντωτικής κίνησης.

Τι είναι ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής;

Ένας ταλαντωτής που εκτελεί την απλή αρμονική κίνηση ονομάζεται Simple Harmonic Oscillator. Η περιοδική κίνηση από και προς τα πίσω των σωματιδίων προς ένα σταθερό μέσο σημείο ονομάζεται ταλαντωτική κίνηση. Συμβολίζεται με τον τύπο F = -kxν, όπου το n είναι ένας περίεργος αριθμός που υποδηλώνει τον αριθμό των ταλαντώσεων. Όταν η τιμή n = 1, η ταλαντωτική κίνηση ονομάζεται απλή αρμονική κίνηση.




Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής αποτελείται από ένα οριζόντια τοποθετημένο ελατήριο του οποίου το ένα άκρο είναι προσαρτημένο σε ένα σταθερό σημείο και το άλλο άκρο προσαρτάται σε ένα κινούμενο αντικείμενο μάζας m. Η θέση της μάζας όταν βρίσκεται σε ισορροπία ονομάζεται μέση θέση. Όταν η μάζα τραβιέται παράλληλα με τον άξονα του ελατηρίου, αρχίζει να κινείται προς και πέρα ​​για τη μέση θέση. Μια δύναμη αποκατάστασης, απέναντι από την κατεύθυνση της μετατόπισης, δρα στη μάζα τραβώντας την προς τη μέση θέση. Αυτή η συσκευή είναι πλέον γνωστή ως απλός αρμονικός ταλαντωτής.

μικρόεφαρμόστε τον αρμονικό ταλαντωτήΕξίσωση

Σε μια απλή αρμονική κίνηση, η δύναμη αποκατάστασης είναι ευθέως ανάλογη με τη μετατόπιση της μάζας και δρα κατά την αντίθετη κατεύθυνση προς την κατεύθυνση μετατόπισης, τραβώντας τα σωματίδια προς τη μέση θέση.



Σύμφωνα με τον νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη που δρα στη μάζα m δίνεται από F = -kxν. Εδώ, το k είναι η σταθερά και το x υποδηλώνει την μετατόπιση του αντικειμένου από τη μέση θέση. Η μετατόπιση είναι ανάλογη με την επιτάχυνση της μάζας σχετικά με τη μέση θέση. Σε απλή αρμονική κίνηση, η τιμή του n = 1.

Καθώς η επιτάχυνση είναι ανάλογη της μετατόπισης, α = δδύοx / dt δύο. Αντικαταστήστε τις τιμές στην εξίσωση του Νεύτωνα.


Ετσι, F = μα , F = -kx.

Επομένως, -kx = ma —- (1)

-kx = m (dδύοx / dtδύο)

Με αναδιάταξη, -kx / m = (dδύοx / dtδύο).--(δύο)

Η συνάρτηση της οποίας το δεύτερο παράγωγο είναι το ίδιο με αρνητικό σύμβολο θα είναι το απλή αρμονική λύση ταλαντωτών για την παραπάνω εξίσωση. Οι λειτουργίες Sine και Cosine ικανοποιούν αυτήν την απαίτηση.

f (x) = sin x, (dδύοx / dtδύο) (f (x)) = -sin x

f (x) = cos x, (dδύοx / dtδύο) (f (x)) = -cos x

Για απλότητα επιλέγεται η αμαρτία (Φ). Η γωνία φάσης περιγράφει τις θέσεις μετατόπισης της μάζας από το μέσο σημείο. Στη μέση θέση, Φ = 0. Όταν η μάζα κινείται προς τα εμπρός και φτάσει στο μέγιστο σημείο, Φ = π / 2. Όταν η μάζα επιστρέφει στη μέση κίνηση μετά τη μέγιστη θέση προς τα εμπρός, Φ = π. Όταν η μάζα κινείται προς τα πίσω και φτάσει στο μέγιστο σημείο, Φ = 3π / 2 και τώρα όταν κινείται στη μέση θέση, Φ = 2π.

Η ληφθείσα από τη μάζα για να ολοκληρωθεί ένας ολοκληρωμένος κύκλος ονομάζεται Περίοδος που υποδηλώνεται από τον Τ. Ο αριθμός μιας τέτοιας ταλάντωσης που συμβαίνει ανά μονάδα χρόνου ονομάζεται συχνότητα ταλάντωσης, f. A δηλώνει τις θέσεις extream του αντικειμένου και ονομάζεται επίσης πλάτος. Έτσι, η μετατόπιση της απλής αρμονικής κίνησης είναι μια αλγεβρική ημιτονοειδής λειτουργία που δίνεται ως

x = Αμαρτία ωt —- (3)

Όπου ω προκύπτει η γωνιακή συχνότητα ως Φ / t. Από Eqn (2)

-kx / m = (dδύοx / dtδύο). ω =2πf, T=1/f

x = Αμαρτία (2πft + Φ), αντικατάσταση στο (2)

-k( A sin(2πft+Φ)/m = -4πδύοφάδύοAsin(2πft+Φ)

Με επίλυση, f = (1 / 2π) √ (k / m)

ω = √(k/m)

Έτσι, x = Asin√ (k / m) t είναι η εξίσωση ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή.

Απλά αρμονικά γραφήματα κίνησης

Σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, η δύναμη αποκατάστασης που δρα στο ελατήριο κατευθύνεται πάντα προς την αντίθετη κατεύθυνση προς την μετατόπιση της μάζας. Όταν η μάζα κινείται προς τη θετική θέση extream + A, η επιτάχυνση και η δύναμη είναι αρνητικές και είναι μέγιστες. Όταν το αντικείμενο κινείται προς τη μέση θέση από τη θέση + A, η ταχύτητα αυξάνεται ενώ η επιτάχυνση είναι μηδενική στη μέση θέση.

Απλή-Αρμονική-Κίνηση.

Απλή-Αρμονική-Κίνηση.

Η ταχύτητα και η ταχύτητα του απλού αρμονικού ταλαντωτή μπορούν να προκύψουν από τα παραπάνω απλή αρμονική κυματομορφή ταλαντωτών . Η μετατόπιση του αντικειμένου δίνεται από x = Asinωt = Asin√ (k / m) t. Η ταχύτητα δίνεται ως V = ωΑ cos ωt. Η επιτάχυνση δίνεται ως = -ωδύοΧ. Η περίοδος δίνεται ως T = 1 / f όπου f είναι η συχνότητα που δίνεται ως ω / 2π, όπου ω = √ (k / m).

Η δύναμη που ενεργεί στη μάζα στη μέση θέση είναι 0 και η επιτάχυνσή της είναι επίσης 0. Σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, η επιτάχυνση είναι ανάλογη της μετατόπισης. Το σημάδι δύναμης εξαρτάται από την κατεύθυνση μετατόπισης του αντικειμένου από τη μέση θέση.

Απλές Εφαρμογές Αρμονικού Ταλαντωτή

Το Simple Harmonic Oscillator είναι ένα σύστημα ελατηρίου-μάζας. Εφαρμόζεται στα Ρολόγια ως ταλαντωτής, στην κιθάρα, βιολί. Φαίνεται επίσης στο αμορτισέρ αυτοκινήτου όπου τα ελατήρια είναι προσαρτημένα στον τροχό του αυτοκινήτου για να εξασφαλίσουν την ομαλότερη οδήγηση. Το Metronome είναι επίσης ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής που δημιουργεί συνεχή τσιμπούρια που βοηθούν τον μουσικό να παίξει ένα κομμάτι με σταθερή ταχύτητα.

Μια απλή αρμονική κίνηση εμπίπτει στην κατηγορία ταλαντωτικής κίνησης περιοδικής κίνησης. Όλες οι ταλαντωτικές κινήσεις είναι περιοδικής φύσης, αλλά δεν είναι όλες οι περιοδικές κινήσεις ταλαντωτικές. Η δύναμη αποκατάστασης σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή υπακούει Ο νόμος του Hooke.

Η απλή αρμονική κίνηση εξαρτάται από την ακαμψία της δύναμης αποκατάστασης και τη μάζα του αντικειμένου. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής με μεγάλη ταλάντωση μάζας με λιγότερη συχνότητα. ο ταλαντωτής με υψηλή δύναμη αποκατάστασης ταλαντεύεται με υψηλή συχνότητα. Οι παράμετροι μετατόπισης, ταχύτητας, πλάτους και δύναμης του απλού αρμονικού ταλαντωτή υπολογίζονται πάντα από τη μέση θέση του ελατηρίου. Η συχνότητα και η περίοδος των ταλαντώσεων δεν επηρεάζονται από το πλάτος. Ποια είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση του αντικειμένου όταν το ελατήριο είναι στη μέση του θέση;